由于最近的工作需要,重新翻看了这部分内容,为了以后便于查阅,贴在此处。

全部内容来自于梁昆淼著的第四版《数学物理方法》,108-122页。

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数学物理方法摘录(梁昆淼著)-7.1-数学物理方程的导出

把两个函数:

\[y_1=x^2+\sin{x}+\sin{x^2}+\sin{x^3}+\sin{x^4}\]

\[y_2=-x^2-\sin{x}-\sin{x^2}-\sin{x^3}-\sin{x^4}\]

画在一张图上,没想到还挺像X染色体。难道染色体的形状还真有数学表达式?

当然,我随便画的函数,上下都是对称的,染色体当然不长这样,但可以将两个函数弄得不一样,得到比较像的样子。

比如:

\[y_1’=x^2+\sin{x}+\sin{x^2}+\sin{x^3}+\cos{x^4}\]

\[y_2’=-x^2-\sin{x}-\sin{x^2}-\cos{x^3}-\sin{x^4}\]

得到下图:

这里就抛砖引玉吧(如果有玉的话)。

What are the Deep Laws of Nature?

What’s fundamental? What’s bedrock reality? What are the deep regularities, things that work the same—always, everywhere—across the universe? Are these regularities “laws”?  Where do they come from?

视频简介:(原地址:https://www.youtube.com/watch?v=HsMUbZDNlik

话题大致有以下分类:

受采访的对象包括但不限于威腾、温伯格、索恩等物理大师。

以上的这些主题都归属于来自于 Deep Laws of Nature,而 Deep Laws of Nature 归属于 Closer to Truth.

Closer to Truth 包括以下主题:COSMOSCONSCIOUSNESSMEANING

都值得好好看看。

它的所有视频都做了播放列表,在它的YouTube频道里。观看地址为:https://www.youtube.com/user/CloserToTruth1

 

四元数的可视化(来自bilibili

How to think about this 4d number system in our 3d space.

Brought to you by you: http://3b1b.co/quaternion-thanks

Part 2: https://youtu.be/zjMuIxRvygQ

Interactive version of these visuals: http://3imaginary1real.com

Quanta article on quaternions: https://www.quantamagazine.org/the-st…

The math of Alice in Wonderland: https://www.newscientist.com/article/…


作者:Yang Eninala
链接:http://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
来源:知乎
著作权归作者所有,转载请联系作者获得授权。

根据我的理解,大多数人用汉密尔顿四元数就只是做三维空间的旋转变换(我反正没见过其他用法)。那么你不用学群论,甚至不用复习线性代数,看我下面的几张图就可以了。

首先,定义一个你需要做的旋转。旋转轴为向量v=(vx,vy,vz),旋转角度为\theta (右手法则的旋转)。如下图所示:
此图中v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} }),\theta =\frac{\pi }{3}

那么与此相对应的四元数(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式)
q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k

这时它的共轭(下三行式子都是一个意思,只是不同的表达形式),
q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })
q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k

如果你想算一个点w=(wx,wy,wz)在这个旋转下新的坐标w^{'} ,需要进行如下操作,
1.定义纯四元数
qw=(0,wx,wy,wz)=0+wx*i+wy*j+wz*k
2.进行四元数运算
qw^{'} =q*qw*q^{-1}
3.产生的qw^{'} 一定是纯四元数,也就是说它的第一项为0,有如下形式:
qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k
4.qw^{'}中的后三项(wx^{'},wy^{'},wz^{'})就是w^{'}
w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})
这样,就完成了一次四元数旋转运算。

同理,如果你有一个四元数:
q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)
那么,它对应一个以向量v=(vx,vy,vz)为轴旋转\theta 角度的旋转操作(右手法则的旋转)。

***********************************************************************************************************
如果你想对四元数有着更深入的了解,请往下看。

四元数由汉密尔顿发明,这一发明起源于十九世纪的某一天。在这一天早上,汉密尔顿下楼吃早饭。这时他的儿子问他,“爸爸,我们能够对三元数组(triplet,可以理解为三维向量)做乘法运算么?”汉密尔顿说“不行,我只能加减它们。”

这时来自21世纪的旁白旁先生说,“大家快来看十九世纪的数学家有多二,连内积和外积都不是知道。”

十九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积,但是他知道,他想要的三维向量乘法要比内积和外积运算“高大上”很多。这一乘法运算要满足下列四条性质:
1.运算产生的结果也要是三维向量
2.存在一个元运算,任何三维向量进行元运算的结果就是其本身
3.对于任何一个运算,都存在一个逆运算,这两个运算的积是元运算
4.运算满足结合律

换而言之,汉密尔顿想定义的不是一个简单的映射关系,而是一个群!(后来我们知道四元数所在群为S3,而四元数所代表的三维旋转是SO(3),前者是后者的两倍覆盖)内积连性质1都不满足,外积不满足性质3。

汉密尔顿先生就这么被自己儿子提出的问题难倒了。经历了无数个日日夜夜,他绞尽脑汁也没想明白这个问题。终于有一天(1843年的一天),汉密尔顿先生终于意识到了,自己所需要的运算在三维空间中是不可能实现的,但在四维空间中是可以的,他是如此的兴奋,以至于把四元数的公式刻在了爱尔兰的一座桥上。

旁白:“WTF,我让你讲三维物体的旋转,你给我扯到四维空间上去。”

(不加说明,以下所说四元数全为单位四元数)
其实,四元数有四个变量,完全可以被看作一个四维向量。单位四元数(norm=1)则存在于四维空间的一个球面上。q_{a}q_{b},四元数q_{a}乘以四元数q_{b}其实看作(1)对q_{a}进行q_{b}左旋转,或者(2)对q_{b}进行q_{a}右旋转。所以从始至终,四元数定义的都是四维旋转,而不是三维旋转!任意的四维旋转都可以唯一的拆分为一个左旋转和一个右旋转,表达出来就是q_{_{L}}pq_{_{R}}。这里,我们对四元数(四维向量)p进行了一个q_{_{L}}左旋转和一个q_{_{R}}右旋转。结果当然是一个四元数,符合性质1。这个运算也同时符合性质2,3,4。

好了,说完了四维旋转,我们终于可以说说三维旋转了。说白了,三维旋转就是四维旋转的一个特例,就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。说是特例其实不准确,准确的说是一个子集或者subgroup。为了进行三维旋转运算,汉密尔顿首先在四维空间里划出了一块三维空间。汉密尔顿定义了一种纯四元数(pure quaternion),其表达式为qw=(0,wx,wy,wz)。纯四元数第一项为零,它存在于四维空间的三维超平面上,与三维空间中的三维向量一一对应。然后,就有了我们常见的q*qw*q^{-1} 这种左乘单位四元数,右乘其共轭的表达式。我真心不知道汉密尔顿是怎么想出来的,不过回过头来看,这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说,当对一个三维向量进行三维旋转后,我们希望得到的是一个三维向量。(如果你真能得到一个四维向量,就不敢自己在家转圈圈了吧,转着转着,就进入四次元了!)那么这个左乘单位四元数,右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。

把左乘和右乘表达为矩阵形式会让我们看的更清楚一些。依照qw的定义,q*qw*q^{-1} 的矩阵形式为
\left[ \begin{array}{ c c c c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4} & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3} \\ 0& 2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4} & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2} \\ 0 & 2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3} & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2} & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } 0\\ wx\\ wy\\ wz \end{array} \right]
很明显,前面的矩阵虽然是一个4×4的四维旋转矩阵,但是它只是在右下角3×3的区域内和一个单位矩阵有所不同。所以说,它是一个限制在三维超平面上的四维旋转。如果表达式右边不是共轭,而是任意四元数,那么我们所作的就是一个很普通的四维旋转。如果只是左乘一个单位四元数,右边什么都不乘,那么我们得到的是四维旋转的一个子集,这个子集并不能保证结果限制在三维超平面上。如果只右乘,不左乘也是一样一样的。

说了这么多,对于坚持到最后的你,上图一幅,以表感谢。

其实这张图解释了一个长久的疑问。为什么四元数q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)里用的是\frac{\theta }{2} 而不是\theta。这是因为q做的就是一个\frac{\theta }{2} 的旋转,而q^{-1}也做了一个\frac{\theta }{2} 的旋转。我们进行了两次旋转,而不是一次,这两次旋转的结果是一个旋转角为\theta的旋转。

分类: OpenGL

妈咪说

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洛伦兹方程:

\[\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)\]

\[\frac{dy}{dt}=x(R-z)-y\]

\[\frac{dz}{dt}=xy-\beta z\]

其中,\(\sigma\) 叫普朗特数(Prandtl数),R 叫瑞利数(Rayleigh数),这两个可任取任意正数。\(\beta\)是一个几何因子。

MacOS上的Grapher软件自带洛伦兹吸引子的图像。

分形,是混沌在空间上的描述,或者说是几何描述。

混沌,是分形在时间上的描述。

【分形与混沌5】人口数量算不准?马尔萨斯灾难什么意思?逻辑斯蒂方程中的混沌

 

以下是维基百科的解释,原地址:https://en.wikipedia.org/wiki/K-function

In mathematics, the K-function, typically denoted K(z), is a generalization of the hyperfactorial to complex numbers, similar to the generalization of the factorial to the gamma function.

Formally, the K-function is defined as

It can also be given in closed form as

where ζ'(z) denotes the derivative of the Riemann zeta function, ζ(a,z) denotes the Hurwitz zeta function and

Another expression using polygamma function is[1]

Or using balanced generalization of polygamma function:[2]

where A is Glaisher constant.

The K-function is closely related to the gamma function and the Barnes G-function; for natural numbers n, we have

More prosaically, one may write

The first values are

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … ((sequence A002109 in the OEIS)).

References[edit]

External links[edit]

Weisstein, Eric W. “K-Function”MathWorld.

 

以下是Wolfram的解释,内容来自http://mathworld.wolfram.com/K-Function.html

KFunction

KFunctionReIm

KFunctionContours

此处具体内容请查看原文

 

 

 

请使用手机”扫一扫”x

《贝叶斯方法——概率编程与贝叶斯推断》主要是讲解利用贝叶斯概率方法结合Python编程来求解一些问题。因为我注意到有一本书和研究方向是关于贝叶斯概率方法和量子力学相结合,甚至有量子贝叶斯这种新学科的产生,所以我想看看贝叶斯到底在做什么。

我没有学过概率论,据目前了解,贝叶斯概率是概率方法中的一种,但是作用很大。而且这本书印刷不错,抽空看了几页,文字言简意赅,值得读一读。

   

 

GRTensor 下载地址:https://github.com/grtensor/grtensor

GRTensor 博客:https://hyperspace.uni-frankfurt.de/2016/12/07/grtensoriii-for-maple-has-been-released/

GRTensor wiki介绍:https://github.com/grtensor/grtensor/wiki

GRTensor 官方网站:http://grtensor.phy.queensu.ca/


本段摘选自GRTensor wiki介绍,链接在上面已经给出。

GRTensorIII is provided as Maple package in the  lib/  directory of the project. This lib directory needs to be included in your Maple library path.

This can be accomplished in a Maple session with a command like (changing the path to the directory on your system):

For Windows users (DOUBLE backslashes!!):

If the library is not found the cryptic error message will say something like: “with expects it’s first argument to be of type….”

Alternately, this command can be placed in the Maple init file in the home directory on your computer. See Maple Init File

GRIII can then be loaded via:

And the output will be:

It is then useful to ensure you have a suitable path set for loading and saving metrics. This is controlled by the global variable  grOptionMetricPath . The current option settings are displayed with the command  groptions(); . The grtensor distribution includes a directory with some useful metrics in  metrics/ .

grOptionMetricPath can be configured by assignment in the Maple session or set in your  .mapleinit  file.

GRTensorIII contains a new option variable  grOptionMapletInput  (default  true ). More recent Maple releases have made dialog box input the default mode. The interactive routines in GRTensorIII now use these dialogs by default. If this is not desired, set this option variable to  false . See  ?groptions for a description of all the options for GRTensorIII.

Getting Started

There are multiple approaches to get started with GRTensor:

  • consult the built in help.  ?grtensor  and  ?grt_commands  are a good starting point
  • open one of the sample worksheets in the  worksheets  directory
  • read the PDF docs, typically starting with  grIntro.pdf  in the  docs/  directory.